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基本思想
遗传算法（Genetic Algorithm，GA）是进化计算的一个分支，是一种模拟自然界生物进化过程的随机搜索算法。GA思想源于自然界“自然选择”和“优胜劣汰”的进化规律，通过模拟生物进化中的自然选择和交配变异寻找问题的全局最优解。它最早由美国密歇根大学教授John H. Holland提出，现在已经广泛应用于各种工程领域的优化问题之中。
生物进化过程
遗传算法过程
可以求解困难问题。基于遗传科学和自然选择的过程，有学科交叉的特点， 在计算机科学领域也有许多有成效的应用。比如并行计算。遗传算法作用在一个小的种群上，这个种群可以对应于一个特定的变量值，种群的大小 可能变化，通常与所考虑的问题相关。种群的成员(个体)通常为0和1的字符串，即 二进制字符串。如1000010,1110000,1010101,1111001,100001；
实际计算中， 种群可能更长。这个0，1序列就是一个个体，对应于染色体，每个二进制位理解为基因。跟遗传学一样，有一套流程：基于适应度的选择；交叉；变 异。 在繁殖阶段，随机选择一组染色体，根据适应度，选择种群繁殖的成员，最 适应的具有更大的繁殖概率，这个概率与它们的适应度值成比例。 所谓适 者生存 。 配对过程实现简单的交叉想法：种群的两个成员交换基因。有很多交叉方 法：一个交叉点，或多个交叉点，交叉点随机选择。比如，
1110|000
1010|101
交叉后给出的新的染色体：
1110|101
1010|000
基因重组
将这个过程应用于初始种群，就可以产生新的一代。最后的过程是变异。 变异的想法就是随机在一个特定的染色体上改变一个特定的基因。这样0可以变成1,1可以变成0，遗传算法中变异的概率很低。 以一个简单的例子为例，说明如何处理优化问题。
设 r 为半径的半球，高为2的圆柱合体构成一个容器，希望使得容器的容量尽量大。
\max v=2\pi r^3/3+2\pi^2 ，其中， 2\leq r\leq4 .
如何转化为遗传算法可以直接应用的问题。首先必须生成一组初始的字符串构成的初始种群，每个字符串中的二进制数的个数，即字符串的长度限制了解的精度。初始化种群的大小，决定了算法所花费的时间。
一般情况下，遗传算法在群体初始化阶段采用的是随机数初始化方法。采用生成随机数的方法，对染色体的每一维变量进行初始化赋值。初始化染色体时必须注意染色体是否满足优化问题对有效解的定义。
如果在进化开始时保证初始群体已经是一定程度上的优良群体的话，将能够有效提高算法找到全局最优解的能力。 matlab函数genbin可以用来生成这样的初始种群。本节不用matlab进化计算工具箱中的函数，为了便于理解原理，所有的函数都自定义。
function chromosome = genbin(bitl,numchrom)
%Example call: chromosome = genbin(bitl,numchrom)
% Generates numchrom chromosomes of bitlength bitl.
% Called by optga.m
% This MATLAB function is to accompany 'Numerical Methods using MATLAB'
% % by GR Lindfield and JET Penny,
% % published by Academic Press, an imprint of Elsevier, 2012.
%
maxchros = 2^bitl;
if numchrom>=maxchros
numchrom = maxchros;
end
chromosome = round(rand(numchrom,bitl));
%%
% 产生5个长度为6的基因初代种群。
chroms=genbin(6,5)
因为感兴趣的r值在2到4范围内，所以必须把这些二进制字符串转换为2到4范围内的值。利用matlab函数binvreal来完成，将一个二进制值转换为所要求的范围内的实值。
function rval = binvreal(chrom,a,b)
% % Converts binary string chrom to real value in range a to b.
% % Example call rval = binvreal(chrom,a,b)
% % Normally called from optga.
%
% % This MATLAB function is to accompany 'Numerical Methods using MATLAB'
% % by GR Lindfield and JET Penny,
% % published by Academic Press, an imprint of Elsevier, 2012.
%
[pop bitlength] = size(chrom);
maxchrom = 2^bitlength-1;
realel = chrom.*((2*ones(1,bitlength)).^fliplr([0:bitlength-1]));
tot = sum(realel);
rval = a+tot*(b-a)/maxchrom;
for i=1:5,rval(i)=binvreal(chroms(i,:),2,4);end
rval
适应度信息 适应度值的计算
定义目标函数：
g=@(x) pi*(0.66667*x+2).*x.^2;
适应度
fit=g(rval)
这一阶段的总的适应度为
sum(fit)
可以看出最适应的值是哪一个成员或染色体。
评估函数用于评估各个染色体的适应值，进而区分优劣。评估函数常常根据问题的优化目标来确定，比如在求解函数优化问题时，问题定义的目标函数可以作为评估函数的原型。
在遗传算法中，规定适应值越大的染色体越优。因此对于一些求解最大值的数值优化问题，我们可以直接套用问题定义的函数表达式。但是对于其他优化问题，问题定义的目标函数表达式必须经过一定的变换。
上述过程可以封装为一个函数fitness()
function [fit,fitot] = fitness(criteria,chrom,a,b)
% % Example call: [fit,fitot] = fitness(criteria,chrom,a,b)
% % Calculates fitness of set of chromosomes chrom in range a to b.
% % using the fitness criterion, criteria.
% % Called by optga.
% % Calculates fitness of set of chromosomes in range a to b.
%
% % This MATLAB function is to accompany 'Numerical Methods using MATLAB'
% % by GR Lindfield and JET Penny,
% % published by Academic Press, an imprint of Elsevier, 2012.
%
[pop bitl] = size(chrom);
for k = 1:pop
v(k) = binvreal(chrom(k,:),a,b);
fit(k) = feval(criteria,v(k));
end
fitot = sum(fit);
执行
[fit,sum_fit]=fitness(g,chroms,2,4)
繁殖阶段 按照适应度复制字符串，因此交配库中的最适应的染色体具有更高的概率。 这个选择的过程比较复杂，基于模拟轮盘赌的过程。分配给一个特定字符串的轮盘的百分比正比与字符串的适应度。对于适应度向量fit，这个百分比计算如下：
轮盘赌选择算法
percent=100*fit/sum_fit
sum(percent)
概率越大，染色体被选中的几率就越大。
由selectga()函数实现
function newchrom = selectga_g(criteria,chrom,a,b)
% % Example call: newchrom = selectga_g(criteria,chrom,a,b)
% % Selects best chromosomes from chrom for next generation
% % using function criteria in range a to b.
% % Called by function optga_g.
% % Selects best chromosomes for next generation using criteria
%
% % This MATLAB function is to accompany 'Numerical Methods using MATLAB'
% % by GR Lindfield and JET Penny,
% % published by Academic Press, an imprint of Elsevier, 2012.
%
[pop bitlength] = size(chrom);
fit = [ ];
% %calculate fitness
[fit,fitot] = fitness_g(criteria,chrom,a,b);
for chromnum = 1:pop
end sval(chromnum) = sum(fit(1,1:chromnum));
% end
% %select according to fitness
for i = 1:pop];
% for i = 1:pop
rval = floor(fitot*rand);
if rval<sval(1)
parname = [parname 1];
else
for j = 1:pop-1
sl = sval(j);
su = sval(j)+fit(j+1);
if (rval>=sl) & (rval<=su)
parname = [parname j+1];
end
end
end
end
newchrom(1:pop,:) = chrom(parname,:);
上述函数实现选择如下：
matepool =selectga(g,chroms,2,4)
% 由于选择的随机性，我们发现，有的成员没有被选中，有的成员尽管适应度较高，
% 也不一定被选中，接下来重新评估新种群的适应度。
%%
fitness(g,matepool,2,4)
sum(ans)
会发现整体的适应度显著增加
交叉 (交配算子)
只配对其中的一部分个体，比如60%的个体，本例为3个，因为配对为偶数，向下取整，所以取2，随机选择种群的2个成员进行配对，实现函数 为matesome.
function chrom1 = matesome(chrom,matenum)
% % Example call: chrom1 = matesome(chrom,matenum)
% % Mates a proportion, matenum, of chromosomes, chrom.
%
% % This MATLAB function is to accompany 'Numerical Methods using MATLAB'
% % by GR Lindfield and JET Penny,
% % published by Academic Press, an imprint of Elsevier, 2012.
%
mateind = [ ];
chrom1 = chrom;
[pop bitlength] = size(chrom);
ind = 1:pop;
u = floor(pop*matenum);
if floor(u/2)~=u/2
u = u-1;
end
% % select percentage to mate randomly
while length(mateind)~=u
i = round(rand*pop);
if i==0
i = 1;
end
if ind(i)~=-1
mateind = [mateind i];
ind(i) = -1;
end
end
% %perform single point crossover
for i = 1:2:u-1
splitpos = floor(rand*bitlength);
if splitpos==0
splitpos = 1;
end
i1 = mateind(i);
i2 = mateind(i+1);
tempgene = chrom(i1,splitpos+1:bitlength);
chrom1(i1,splitpos+1:bitlength) = chrom(i2,splitpos+1:bitlength);
chrom1(i2,splitpos+1:bitlength) = tempgene;
end
newgen=matesome(matepool,0.6);
% matepool =
%
% 1 1 1 1 1 0
% 1 1 0 1 1 1
% 1 0 1 0 0 1
% 1 1 1 1 1 0
% 1 0 0 0 1 1
% newgen =
%
% 1 1 1 1 1 0 %原种群继承下来的个体
% 1 1 0 1 1 0 % 第2个和第4个被选中交配
% 1 0 1 0 0 1 %原种群继承下来的个体
% 1 1 1 1 1 1 % 第2个和第4个被选中交配
% 1 0 0 0 1 1 %原种群继承下来的个体
在染色体交配阶段，每个染色体能否进行交配由交配概率Pc（一般取值为0.4到0.99之间）决定，其具体过程为：对于每个染色体，如果Random(0, 1)小于Pc则表示该染色体可进行交配操作（其中Random(0, 1)为[0, 1]间均匀分布的随机数），否则染色体不参与交配直接复制到新种群中。
每两个按照Pc交配概率选择出来的染色体进行交配，经过交换各自的部分基因，产生两个新的子代染色体。具体操作是随机产生一个有效的交配位置，染色体交换位于该交配位置后的所有基因
计算新种群的适应度，有
fitness(g,newgen,2,4)
sum(ans)
注意到这个阶段，总适应度并不一定总能得到改善，当然不能期望每次都会改善。
基因突变(变异算子)
最后一个阶段执行基因突变，然后再重复相同的循环步骤，实现变异的函数为mutate()
function chrom = mutate(chrom,mu)
% % Example call: chrom = mutate(chrom,mu)
% % mutates chrom at rate given by mu
% % Called by optga
%
% % This MATLAB function is to accompany 'Numerical Methods using MATLAB'
% % by GR Lindfield and JET Penny,
% % published by Academic Press, an imprint of Elsevier, 2012.
%
[pop bitlength] = size(chrom);
for i = 1:pop
for j = 1:bitlength
if rand<=mu
% Neater method of mutation compared with that given in text.
chrom(i,j)~=chrom(i,j);
end
end
end
% mu为变异率，一般取的非常小，这种规模的种群不可能在一代中就发生改变，该函数调用如下：
mutate(newgen,0.05);
%%
% * 1 1 1 1 1 0
% * 1 1 0 1 1 0
% * 1 0 1 0 0 1
% * 1 1 1 1 1 1
% * 1 0 0 0 1 1
突变时基因的某个位发生改变，从1变成0，从0变成1.有时也可能不会发生变异，因为 变异率很低。
重复上述步骤，用optga函数封装上述循环
function [xval,maxf] = optga(fun,range,bits,pop,gens,mu,matenum)
% % Determines maximum of a function using the Genetic algorithm.
% % Example call: [xval,maxf] = optga(fun,range,bits,pop,gens,mu,matenum)
% % fun is name of a one variable user defined positive valued function.
% % range is 2 element row vector giving lower and upper limits for x.
% % bits is number of bits for the variable, pop is population size.
% % gens is number of generations, mu is mutation rate,
% % matenum is proportion mated in range 0 to 1.
% % WARNING. Method is not guaranteed to find global optima.
%
% % This MATLAB function is to accompany 'Numerical Methods using MATLAB'
% % by GR Lindfield and JET Penny,
% % published by Academic Press, an imprint of Elsevier, 2012.
%
newpop = [ ];
b = range(2);;
% b = range(2);
newpop = genbin(bits,pop);
for i = 1:gens
selpop = selectga(fun,newpop,a,b);
newgen = matesome(selpop,matenum);
newgen1 = mutate(newgen,mu);
newpop = newgen1;
end
[fit,fitot] = fitness(fun,newpop,a,b);
[maxf,mostfit] = max(fit);
xval = binvreal(newpop(mostfit,:),a,b);
想想最初的问题，指定自变量的范围从2到4，使用8位染色体，且初始种群数为10
这个过程连续进行20代，变异概率为0.005，交叉概率matenum为0.6，需要在0到1之间。
使用8位长的染色体，就给出了2^8=256个划分，区间从2到4被划分为256和分区，每个长为0.0078125.
[x f]=optga(g,[2 4],8,10,20,0.005,0.6);
% x =
% 3.8980
% f =
% 219.5219
精确解我们可以看出为 x=4,所以这个结果是一个合理的结果。
遗传算法流程图和伪代码 遗传算法背后的理论基础
遗传算法不同于简单的直接搜索过程的原因是，它具有两个特点：交叉和变异。从初始种群开始基于遗传算法的随机优化搜索，算法发展了新的世代，从而迅速探索到所关注的区域，这对复杂的优化问题非常有用。特别是那种有很多局部极大和极小，又希望找到函数的全局最大或最小的情况。
共轭梯度法，只能找到局部解，而遗传算法，却有可能找到全局最优解，避免了卡在某个局部极小位置。
发明者Holland模式定理解释了遗传算法的作用机理：11***00,***0001等结构的字符串，比如以11开头，00结尾的，就是一种模式，繁殖过程中，有些具有较高的适应度，他证明了，在世代繁殖中低适应度的模式会呈指数速度消亡。理论是复杂的，我们这里不谈。
案例
1、求函数 f(x)=e^x+sin(3\pi x) 在 x=0 到 x=1 范围内的最大值。
定义h函数为：
h=@(x) exp(x)+sin(3*pi*x);
% 调用optga函数
[x f]=optga(h,[0,1],8,40,50,0.005,0.6);
% x =
% 0.8784
% f =
% 3.3181
%%
matlab的fminsearch函数也可以解决该问题。
h1=@(x) -(exp(x)+sin(3*pi*x)); %注意要加一个负号，变为极小化
fminsearch(h1,0,1);
h1(ans);
% ans =
% 0.1802
% ans =
% -2.1893
很显然只找到局部最优解。
试一试
画出函数 f(x)=10+\frac{1}{(x-0.16)^2+0.1}\sin(1/x) 的图像，并求其最大值。
x范围从0.001到0.3之间。参考结果大约为x=0.1288,f(x)=19.8631.
遗传算法的改进
关于编码，可以用Gray格雷码代替二进制编码；可以用多种不同的方式实现轮盘选择；
交叉可改为多点交叉或其他，人们常常觉得遗传算法运行缓慢，但记住，遗传算法最好应用在难题上，比如有多个优化解但需要求全局最优解的那些问题，标准算法经常失效，用遗传算法费点时间是值得的。
格雷码：格雷码是一种二进制数系统，其中相邻的代码只有一个二进制数不同，是格雷开发的。
定义汉明距离，汉明距离是两个二进制向量之间对应位不同的数量。
* 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7
* 二进制 000 001 010 011 100 101 110 111
* 格雷码 000 001 011 010 110 111 101 100
对于遗传算法，须把格雷码转换成十进制，为此，需采取两个阶段：先把格雷码转换为二进制，然后再把二进制转换为十进制，把格雷码转换为二进制，算法为：
对第一位(最高位)b(1)=g(1)
对第i位，其中i=2,...,n,
若b(i-1)=g(i),则b(i)=0,否则b(i)=1
其中b(i)是二进制，g(i)是等价的格雷码，该算法可用函数grayvreal来实现。
function rval = greyvreal(grey,a,b)
% % Converts grey string to real value in range a to b.
% % Example call rval = greyvreal(grey,a,b)
% % Normally called from optga_g.
% % This MATLAB function is to accompany 'Numerical Methods using MATLAB'
% % by GR Lindfield and JET Penny,
% % published by Academic Press, an imprint of Elsevier, 2012.
%
[pop bitlength] = size(grey);
maxchrom = 2^bitlength-1;
% % Converts grey to binary
bin(1) = grey(1);
% for i = 2:bitlength
bin(i) = 0; grey(i)
else bin(i) = 0;
% else
end bin(i) = 1;
end
for i = 2:bitlength
% % Converts binary to real
realel = bin.*((2*ones(1,bitlength)).^fliplr([0:bitlength-1]));
tot = sum(realel);
rval = a+tot*(b-a)/maxchrom;
这个函数可以替代函数fitness（重命名为fitness_g）中的binvreal，在selectga（重命名为selectga_g）中使用，最后，函数optga_g中会使用fitness_g和select_g。
g=@(x)exp(x)+sin(3*pi*x);
[x,f]=optga_g(g,[0 1],8,40,50,0.005,0.6)
研究人员声称用格雷码有显著的优势。
连续遗传算法
有时候初始种群是一组随机实数而非二进制数，初始种群值，可以是感兴趣区域内任意连续的集合，而不是在二进制形式算法中使用的二进制值的离散集。
若假设待优化的函数有四个变量，则初始的每条染色体都是由四个随机产生的十进制数构成的向量，每个数都位于变量的搜索范围内，如果选择有20条染色体的种群，那么对应于适应标准，每条染色体都可以计算出它们的适应度，选择若干最适应的进行配对过程，例如从20条中选择最适应的8条染色体构成一个组作为交配库，从这组中，选择随机对用来交叉和配对。
配对过程大致类似于二进制形式的遗传算法，即选择一个交叉的随机点，简单交换两个染色体上的实变量值，使得父母染色体在该点出混合，但这种方式没有产生该区域内的新值，因此一般建议组合公式为：设有两个配对的染色体： r_1=[u_1,v_1,w_1,x_1] , r_2=[u_2,v_2,w_2,x_2]
在随机点处用一对染色体的线性随机组合，创建出两个新值，取代原染色体交叉点处的值。
x_a=x_1-\beta(x_1-x_2) , x_a=x_1-\beta(x_1-x_2)
类似的公式可以应用到变量 u,v,w 上，在每一代 \beta ，交叉点以及先前种群中成对的适应成员都可以重新选择。
交叉点可以在随机点1,2,3,4处随机出现，根据交叉点的选择，配对后的新染色体为：
交叉点1： r_1=[u_a,v_2,w_2,x_2],r_2=[u_b,v_1,w_1,x_1]
交叉点2： r_1=[u_1,v_a,w_2,x_2],r_2=[u_2,v_b,w_1,x_1]
交叉点3： r_1=[u_1,v_1,w_a,x_2],r_2=[u_2,v_2,w_b,x_1]
交叉点4： r_1=[u_1,v_1,w_1,x_a],r_2=[u_2,v_2,w_2,x_b]
注意到一维问题就无法使用这个特定的配对算法求解。
变异过程也类似于二进制遗传算法，选择一个变异率，则变异数可通过染色体数目和染色体上元素的数目计算出来。然后随机选择染色体上的位置，用某区域内随机选出的值替换染色体上的这些值。用contgaf函数实现连续遗传算法。
function [x,f] = contgaf(func,nv,range,pop,gens,mu,matenum)
% % function for continuous genetic algorithm
% % func is the multivariable function to be optimised
% % nv is the number of variables in the function (minimum = 2)
% % range is row vector with 2 elements. i.e [lower bound upper bound]
% % pop is the number of chromosomes, gens is the number of generations
% % mu is the mutation rate in range 0 to 1.
% % matenum is the proportion of the population mated in range 0 to 1.
%
% % This MATLAB function is to accompany 'Numerical Methods using MATLAB'
% % by GR Lindfield and JET Penny,
% % published by Academic Press, an imprint of Elsevier, 2012.
%
pops = [ ];
fitv = [ ];
nc = pop;
% % Generate chromosomes as uniformly distributed sets of random decimal
% % numbers in the range 0 to 1
chrom = rand(nc,nv);
% % Generate the initial population in the range a to b
a = range(1);
b = range(2);
pops = (b-a)*chrom+a;
for MainIter = 1:gens
% % Calculate fitness values
for i = 1:nc
fitv(i) = feval(func, pops(i,:));
end
% % Sort fitness values
[sfit,indexf] = sort(fitv);
% % Select only the best matnum values for mating
% % ensure an even number of pairs is produced
nb = round(matenum*nc);
if nb/2~=round(nb/2)
nb = round(matenum*nc)+1;
end
fitbest = sfit(1:nb);
% Choose mating pairs use rank weighting
prob = @(n) (nb-n+1)/sum(1:nb);
rankv = prob([1:nb]);
for i = 1:nb
cumprob(i) = sum(rankv(1:i));
end
% % Choose two sets of mating pairs
mp = round(nb/2);
randpm = rand(1,mp);
randpd = rand(1,mp);
mm = [ ];
for j = 1:mp
if randpm(j)<cumprob(1)
mm = [mm,1];
else
for i = 1:nb-1
if (randpm(j)>cumprob(i)) && (randpm(j)<cumprob(i+1))
mm = [mm i+1];
end
end
end
end
% The remaining elements of nb = [1 2 3,...] are the other ptnrs
md = [ ];
md = setdiff([1:nb],mm);
% Mating between mm and md. Choose crossover
xp = ceil(rand*nv);
addpops = [ ];
for i = 1:mp
% Generate new value
pd = pops(indexf(md(i)),:);
pm = pops(indexf(mm(i)),:);
% Generate random beta
beta = rand;
popm(xp) = pm(xp)-beta*(pm(xp)-pd(xp));
popd(xp) = pd(xp)+beta*(pm(xp)-pd(xp));
if xp==nv
% Swop only to left
ch1 = [pm(1:nv-1),pd(nv)];
ch2 = [pd(1:nv-1),pm(nv)];
else
ch1 = [pd(1:xp),pm(xp+1:nv)];
ch2 = [pm(1:xp),pd(xp+1:nv)];
end
% New values introduced
ch1(xp) = popm(xp);
ch2(xp) = popd(xp);
addpops = [addpops;ch1;ch2];
end
% Add these ofspring to the best to obtain a new population
newpops = [ ];
newpops = [pops(indexf(1:nc-nb),:); addpops];
% Calculate number of mutations, mutation rate mu
Nmut = ceil(mu*nv*(nc-1));
% Choose location of variables to mutate
for k = 1:Nmut
mui = ceil(rand*nc);
muj = ceil(rand*nv);
if mui~=indexf(1)
newpops(mui,muj) = (b-a)*rand+a;
end
end
pops = newpops;
end
f = sfit(1);
x = pops(indexf(1),:);
测试函数： f(x_1,x_2)=(x_1^4-16x_1^2+5x_1)/2+(x_2^4-16x_2^2+5x_2)/2
tf=@(x) 0.5*(x(1).^4-16*x(1).^2+5*x(1))+0.5*(x(2).^4-16*x(2).^2+5*x(2));
% 这个函数有若干局部极小，但全局最优解是(-2.9035,-2.9035).执行三次连续遗传算法：
[x,f]=contgaf(tf,2,[-4,4],50,50,0.2,0.6)
[x,f]=contgaf(tf,2,[-4,4],50,50,0.2,0.6)
[x,f]=contgaf(tf,2,[-4,4],50,50,0.2,0.6)
注意x值之间的差别，因为这个方法涉及随机元素，所以每次不会产生完全一样的结果。
2、求下述函数的最小值： f(x)=\sum_{n=1}^4[100(x_{n+1}-x_n^2)^2+(1-x_n)^2
显然这个函数的最小值为0，在各个变量都为1处取得.
ff=@(x)(1-x(4))^2+(1-x(3))^2+(1-x(2))^2+(1-x(1))^2+...
100*((x(5)-x(4)^2)^2+(x(4)-x(3)^2)^2+(x(3)-x(2)^2)^2+(x(2)-x(1)^2)^2);
[x,f]=contgaf(ff,5,[-5,5],20,100,0.15,0.6)
模拟退火算法
由于问题的规模大，难度高，且其他方法都不太适合，可以考虑基于模拟退火的优化方法。
如果允许金属冷却得足够慢，它的冶金结构自然能够找到系统的最小能量态。寻找自然过程的能量最小态过程，可以用来找既定的非线性函数的全局最优解。
缓慢冷却过程可以用能量态的玻尔兹曼概率分布来体现，这个分布函数在热力学中起着重要作用，形式如下：
P(E)=exp(-E/kT) , 其中， E 是指定的能量态， k 是玻尔兹曼常数， T 是温度，
这个函数反映了冷却过程中能量水平的变化，最终会找到全局最小能量态。
设 f(x) 是需要最小化的非线性函数，其中 x 具有n个分量的向量，则设 f(x)是需要最小化的非线性函数，其中 x具有n个分量的向量，则
步骤1：令 k=0,p=0 ，选择初始解 x^k 和任意初始温度 T_p ,
步骤2： x的新值 x^{k+1} 引起的变化为 \Delta f=f(x^{k+1})-f(x^k) ,
则，若 \Delta f ,以概率1接受这个变化，用 x^{k+1}代替x^k， k=k+1 ;
若 \Delta f ,以概率 exp(-\Delta f/T_p) 接受这个变化，用 x^{k+1}代替x^k， k=k+1 ;
步骤3： 从步骤2开始重复，直到函数值没有明显变化。
步骤4： 用适当的降温过程 T_{p+1}=g(T_p) 降低温度，令 p=p+1 ，从步骤2 开始重复，直到函数值对降温没有明显的变化。
这个算法的关键难点是，选择初始温度和降温策略。
matlab函数asaq实现了上述算法的一个改进，带有某种淬火的指数冷却策略，加速算法收敛，关键参数如，qf,tinit,maxstep以及变量的上下限都可以调整。
function [fnew,xnew] = asaq(func,x,maxstep,qf,lb,ub,tinit)
% % Determines optimum of a function using simulated annealing.
% % Example call: [fnew,xnew] = asaq(func,x,maxstep,qf,lb,ub,tinit)
% % func is the function to be minimized, x the initial approx.
% % given as a column vector, maxstep the maximum number of main
% % iterations, qf the quenching factor in range 0 to 1,
% % Note: small value gives slow convergence, value close to 1 gives
% % fast convergence, but may not supply global optimum,
% % lb and ub are lower and upper bounds for the variables,
% % tinit is the intial temperature value.
% % Suggested values for maxstep = 200, tinit = 100, qf = 0.9.
%
% % This MATLAB function is to accompany 'Numerical Methods using MATLAB'
% % by GR Lindfield and JET Penny,
% % published by Academic Press, an imprint of Elsevier, 2012.
%
xold = x;
fold = feval(func,x);
n = length(x);
% lk = n*10;
% % Quenching factor q
lk = n*10;
% % c values estimated
% nv = log(maxstep*ones(n,1));
nv = log(maxstep*ones(n,1));
c = mv.*exp(-nv/n);
% % Set values for tk
t0 = tinit*ones(n,1);
tk = t0;
% % upper and lower bounds on x variables
% % variables assumed to lie between -100 and 100
a = lb*ones(n,1);
b = ub*ones(n,1);
k = 1;
% % Main loop
for mloop = 1:maxstep
for tempkloop = 1:lk
% % Choose xnew as random neighbour
fold = feval(func,xold);
u = rand(n,1);
% y = sign(u-0.5).*tk.*((1+ones(n,1)./tk).^(abs((2*u-1))-1));
% xnew = xold+y.*(b-a);
y = sign(u-0.5).*tk.*((1+ones(n,1)./tk).^(abs((2*u-1))-1));
% % Test for improvement
if fnew <= fold
xold = xnew;
elseif exp((fold-fnew)/norm(tk))>rand
xold = xnew;
% end
% end
% % Update tk values
endt0.*exp(-c.*k^(q/n));
k = k+1;
end
tf = tk;
解优化问题： f(x_1,x_2)=(x_1^4-16x_1^2+5x_1)/2+(x_2^4-16x_2^2+5x_2)/2
fv=@(x) 0.5*(x(1)^4-16*x(1)^2+5*x(1))+0.5*(x(2)^4-16*x(2)^2+5*x(2));
[fnew,xnew]=asaq(fv,[0,0].',200,0.9,-10,10,100)
每次运行都给出不同的结果.
练习
1、利用函数optga在x=0到2内，最大化函数 y=1/[(x-1)^2+2] .
2、利用模拟退火算法asaq最小化双变量函数 f=(x_1-1)^2+4(x_2+3)^2 ,多运行几次
2、3、利用模拟退火算法计算函数全局最小点
f=0.5(x_1^4-16x_1^2+5x_1)+0.5(x_2^4-16x_2^2+5x_2)\\-10\cos[4(x_1+2.9035)]\cos[4(x_2+2.9035)]
试试，看能够找出最优解。
正确结果应是 x_1=-2.9035,x_2=-2.9035.
参考文献
1. Numerical Methods Using MATLAB，Third Edition，George Lindfield著，2018年
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