流形 微分几何和黎曼度规
发布时间：2022-12-03 11:30:48 所属栏目：外闻 来源：转载
导读： 以前的人们很自然地会以为地球是平坦的。他们相信最好的描述宇宙的几何学是3维欧几里得几何学。然而，这是错误的，和相信2维欧几里得几何学是地球表面最好的模型同样错误。现在我们知道
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以前的人们很自然地会以为地球是平坦的。他们相信最好的描述宇宙的几何学是3维欧几里得几何学。然而，这是错误的，和相信2维欧几里得几何学是地球表面最好的模型同样错误。现在我们知道了地球表面其实是球面，看起来像一个平面，是因为它很大。 即使没有相对论，也没有理由认为宇宙是欧几里得几何学的最好的模型。因为我们何以肯定，4维球体的3维表面不会给出更好的宇宙模型呢？说不定如果你坐着火箭飞上足够远而不改变航向，最后也会回到原地。 数学上描述一个“正常的”空间是容易的。只要对空间的一点按通常的方法给以坐标的三元组（x，y，z）就行了。但是怎样来描述一个巨大的“球形”空间呢？这要稍微难一点，但也不太难，可以对每一点给出四个坐标（x，y，z，w），但是加上一个条件，即对于一个固定的R，它们要满足方程 现在假想在3维空间里突然发出光波（例如可以是打开一盏明亮的灯）。现在波前不再是一个圆，而是一个不断扩展的球面。它可能扩展得很大很大，然后又开始收缩，但是不是收缩到原来的起点，而是“从里翻到外地”收缩到另外一点。从逻辑上说，这是可能的。 只要注意2维情况的类比就可以看到这种可能性，当上面说的纬圈扩展到赤道以前，北半球算是纬圈的内面，而南半球算是外面；但是一旦扩展越过赤道，南半球就算是内面，而北半球就“从里翻到外地”变成了外面。 要可视地看到这种可能性，要费点劲，而且这个“翻转”的过程用不着求助于第四个维度。关键在于这样的说法可以变成对于3维球面的一个数学上相容的3维的描述。 处理这个问题的一个不同的而且更加一般的途径是使用图册。 一本世界地图集，是由许多平面的地图页订成的。虽然一个图册画的是3维宇宙中的一个对象，但是地球表面的球面几何学却只需从平面的图页上读出。这件事做起来虽然不太方便，但确实是可能的，例如可以这样来描述旋转∶第17页的某个部分要移动到第 24页的某一部份，虽然有点扭曲，却是相似的。 这样做不仅是可能的，而且一个2维曲面可以这样用2维图册来定义。例如，一个2维球面就可以定义如下∶这本图册仅有两页，每一页都是一个圆形。一页是北半球，但是稍大一点，越过赤道以便与南半球复叠起来；另一页则是南半球，但也稍大一点，包含了北半球邻近赤道的一小块。因为这两页地图都是平坦的平面，就必定有点扭曲，但是我们可以说得出扭曲有多大。 （编辑：云计算网_宿迁站长网） 【声明】本站内容均来自网络，其相关言论仅代表作者个人观点，不代表本站立场。若无意侵犯到您的权利，请及时与联系站长删除相关内容! |
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